Rantaviivaparadoksi

Ison-Britannian rantaviiva on 100 km mittakepillä mitattuna noin 2 800 km pitkä (vasemmalla), mutta tarkemmalla 50 km mittakepillä noin 3 400 km (oikealla).

Rantaviivaparadoksi on rantaviivojen pituutta koskeva epäintuitiivinen havainto, jonka mukaan rantaviivalla ei ole yksikäsitteistä mitattavissa olevaa pituutta: pituus riippuu mittaustarkkuudesta. Rantaviivaparadoksin havaitsi Lewis Fry Richardson. Benoît Mandelbrot kuvaili paradoksia artikkelissaan "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension".

Rantaviiva mitataan mittaamalla kahden pisteen välinen matka, josta jatketaan seuraavaan pisteeseen. Rantaviivan tarkka pituus riippuu siis mittauspisteiden ja mittaustarkkuuden valinnasta: jos rantaviivaa mitataan kilometrin pituisella "mittakepillä", joudutaan ohittamaan pienet mutkat, ja jos mitataan metrin pituisella mittakepillä, joudutaan ohittamaan pienien kivien aiheuttamat mutkat. Mitä tarkemmin rantaviivaa mitataan, sitä pienempiä mutkia pitää ottaa huomioon. Kolmioepäyhtälön nojalla kahden pisteen välisen janan korvaaminen murtoviivalla voi vain kasvattaa kokonaispituutta. Siten rantaviivan pituuskin yleensä kasvaa mittaustarkkuuden kasvaessa.

Usein sanotaan, että rantaviiva on fraktaali, ja että tarkkuuden kasvaessa pituus kasvaa rajatta eli äärettömiin^[1]. Todellisen rantaviivan mittaamisessa tulee kuitenkin vastaan aineen koostuminen atomeista; rantaviivan mittaaminen tätä pienemmässä mittakaavassa ei ole mielekästä.^[2]^[3]

↑ Väitös: Kuinka mitata fraktaalia? Antti Käenmäki, Jyväskylän yliopisto. (Arkistoitu – Internet Archive)
↑ The Coastline of britain IS DEFINITELY finite! The Math Forum: Ask Dr. Math. 2002. Viitattu 31.12.2011. (englanniksi)
↑ Mark C. Shelberg, Harold Moellering ja Nina Lam: Measuring the fractal dimensions of empirical cartographic curves, s. 482. Teoksessa Autocarto V: Proceedings of the International Symposium on Computer-Assisted Cartography. , 1982. Teoksen verkkoversio (viitattu 31.12.2011). (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)

[1] Väitös: Kuinka mitata fraktaalia? Antti Käenmäki, Jyväskylän yliopisto. (Arkistoitu – Internet Archive)

[2] The Coastline of britain IS DEFINITELY finite! The Math Forum: Ask Dr. Math. 2002. Viitattu 31.12.2011. (englanniksi)

[3] Mark C. Shelberg, Harold Moellering ja Nina Lam: Measuring the fractal dimensions of empirical cartographic curves, s. 482. Teoksessa Autocarto V: Proceedings of the International Symposium on Computer-Assisted Cartography. , 1982. Teoksen verkkoversio (viitattu 31.12.2011). (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)

[1]

[2]

[3]